DERIVADAS
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
CONCEPTOS Y APLICACIONES
Concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
DERIVADA COMO UN LIMITE
En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x" con la que tiene una relacion funcional. Usando el símbolo "" para referirse a tal cambio, se define tal coeficiente como el límite del cociente
cuando Δx tiende (o se aproxima) a cero.
En la notación de leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x como sigue:
Esta notación depende del nombre de la función y su variable. En este caso, la función se llama "y", y la variable "x", como generalmente se designa. Esta notación sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.
En lenguaje matemático contemporáneo, la derivada se calcula con respecto a cantidades dependientes de una o varias variables y postula que la diferenciación es una operación matemática de carácter especial entre funciones. Se puede definir la derivada de una función en un punto del dominio en dos formas equivalentes:
1.- Definición geométrica: es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico de ella.
2.- Definición física: es la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado en un punto único del trayecto.
TEMARIO
